Formule dei solidi: volumi, superfici e diagonali da ricordare

Alcuni esercizi di matematica richiedono di ricordare le formule fondamentali dei solidi per poterli risolvere rapidamente. In certi test di ingresso, è necessario calcolare superfici, volumi, diagonali e altre misure. Qui sono riportate tutte le relazioni principali che conviene memorizzare.

Parallelepipedi

Cubo

Se a è la misura dello spigolo:

• Superficie laterale:
  $$S_l=4 a^2$$
• Superficie totale:
  $$S_t=6 a^2$$
• Volume:
  $$V=a^3$$
• Diagonale:
  $$d=a \sqrt{3}$$

Parallelepipedo rettangolo

Se a, b, c sono le lunghezze degli spigoli:

• Superficie laterale:
  $$S_l=2 c(a+b)$$
• Superficie totale:
  $$S_t=2(a b+a c+b c)$$
• Volume: V=a×b×c
• Diagonale:
  $$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Prisma retto

• PbP_bPb​: perimetro della base
• SbS_bSb​: superficie della base
• h: altezza del prisma

Formule:

• Superficie laterale: Sl=Pb×hS_l = P_b \times hSl​=Pb​×h
• Superficie totale: St=Sl+2SbS_t = S_l + 2 S_bSt​=Sl​+2Sb​
• Volume: V=Sb×hV = S_b \times hV=Sb​×h

Piramide e tronco di piramide

Piramide retta

• $$P_b$$
  ​: perimetro della base
• $$S_b$$
  : superficie della base
• h: altezza della piramide
• a: apotema (altezza del triangolo laterale)

Formule:

• Superficie laterale:
  $$S_l=P_b \times h$$
• Superficie totale:
  $$S_t=S_l+2 S_b$$
• Volume:
  $$V=S_b \times h$$

Tronco di piramide retta

• $$P_b$$
  : perimetri delle due basi
• $$S_b$$
  ′: superfici delle due basi
• a: apotema del tronco
• h: altezza del tronco

Formule:

• Superficie laterale:
  $$S_l=\frac{P_b \times a}{2}$$
• Superficie totale:
  $$S_t=S_l+S_b$$
• Volume:
  $$V=\frac{h}{3}\left(S_b+S_{b^{\prime}}+\sqrt{S_b \times S_{b^{\prime}}}\right)$$

Cilindro

• r: raggio
• h: altezza

Formule:

• Superficie laterale:
  $$S_l=2 \pi r h$$
• Superficie totale:
  $$S_t=2 \pi r h+2 \pi r^2=2 \pi r(h+r)$$
• Volume:
  $$V=\pi r^2 h$$

Sfera

• r: raggio

Formule:

• Superficie:
  $$A=4 \pi r^2$$
• Volume:
  $$V=\frac{4}{3} \pi r^3$$

Cono e tronco di cono

Cono

• r: raggio
• h: altezza
• a: apotema (segmento obliquo)

Formule:

• Superficie laterale:
  $$S_l=\pi r a$$
• Superficie totale:
  $$S_t=\pi r a+\pi r^2=\pi r(a+r)$$
• Volume:
  $$V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Tronco di cono

• r, R: raggi delle due basi
• a: apotema del tronco
• h: altezza

Formule:

• Superficie laterale:
  $$S_l=\pi(r+R) a$$
• Superficie totale:
  $$S_t=S_l+\pi r^2+\pi R^2$$
• Volume:
  $$V=\frac{\pi h}{3}\left(r^2+R^2+r R\right)$$

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