Momento angolare: Formule e Conservazione nei Test di Ingresso

Può capitare di trovare quesiti sul momento angolare all’interno dei test di ingresso, soprattutto in relazione al moto circolare o alle variazioni di velocità angolare. Qui vengono evidenziati i concetti principali e le formule utili per gestire questi esercizi.

Definizione di momento angolare

Il momento angolare di un corpo di massa mmm che si muove con quantità di moto p=mv, rispetto a un punto O, si definisce come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione r (dal punto O al punto in cui si trova il corpo) e la quantità di moto p. In formula:

L=r×poppureL=m r×v.\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \quad \text{oppure} \quad \mathbf{L} = m\, \mathbf{r} \times \mathbf{v}.L=r×poppureL=mr×v.

Se il moto è circolare con il raggio r perpendicolare alla velocità v\mathbf{v}v, allora:

$$L=m r^2 \omega$$

dove ω è la velocità angolare. Talvolta questa scrittura è indicata anche come $$\mathbf{L}=I \omega$$ in cui $$I = m r^2$$ è il momento d’inerzia del corpo puntiforme rispetto all’asse di rotazione.

Conservazione del momento angolare

Se non agiscono momenti esterni sul sistema (cioè coppie di forze capaci di generare una variazione di L, il momento angolare totale si conserva. Questo spiega fenomeni come:

• Un pattinatore che, avvicinando le braccia al busto, diminuisce il suo momento d’inerzia e aumenta la velocità di rotazione per mantenere costante L.
• Una girandola o una trottola che ruota senza subire attriti esterni, continuando a girare con momento angolare invariato.

Esempio con dati diversi

Immaginiamo una pattinatrice di massa 50 kg che ruota su se stessa con velocità angolare iniziale $$\omega_1=4 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$$. Il suo momento d’inerzia iniziale è $$I_1$$​. Quando porta le braccia vicino al corpo, il momento d’inerzia si riduce a $$I_2=\frac{1}{2} I_1$$. In assenza di momenti esterni, L si conserva:

$$I_1 \omega_1=I_2 \omega_2$$

$$\omega_2=\frac{I_1}{I_2} \omega_1=\frac{I_1}{\frac{1}{2} I_1} \times 4 \mathrm{rad} / \mathrm{s}=2 \times 4=8 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$$

La velocità angolare raddoppia.

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