Combinazioni semplici e con ripetizione: calcolo rapido per i test di ingresso

Capita spesso che, in vari test di ingresso, vengano proposti quesiti sulle combinazioni, chiedendo quante sottoselezioni di un insieme si possono fare quando l’ordine non ha alcun valore. Appaiono domande del tipo: “Quanti gruppi di k elementi si possono formare da n oggetti?” o “Come distribuire k elementi identici fra n soggetti?”.

Oggi vengono illustrati gli strumenti necessari per rispondere in modo mirato.

Combinazioni semplici

Le combinazioni semplici di n oggetti presi k alla volta (indicate spesso come $C_{n, k}$​ o $\binom{n}{k}$) individuano il numero di modi per selezionare k elementi da n totali, senza considerare l’ordine di estrazione.

La formula è:

$C_{n, k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

Ogni combinazione differisce dalle altre solo per la presenza o l’assenza di un elemento, non per la disposizione.

Esempio con dati nuovi:
Ci sono 5 studenti e si vuole formare un duo per una presentazione. In questo caso, l’ordine non conta (il primo e il secondo in elenco formano lo stesso duo).

Il calcolo si effettua con:

$\binom{5}{2}=\frac{5!}{(5-2)!2!}=\frac{120}{3!\times 2!}=\frac{120}{6 \times 2}=10$

Significa che ci sono 10 possibili coppie di studenti.

Combinazioni con ripetizione

Le combinazioni con ripetizione calcolano il numero di modi di scegliere k elementi da un insieme di n possibilità, quando ciascuna di queste può essere usata più volte, ma l’ordine non conta. La formula si scrive come:

$C_{n, k}^{\mathrm{rip}}=\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}$

Compare spesso in domande di distribuzione di oggetti indistinguibili a più destinatari o di composizione di gruppi con ripetizioni consentite.

Esempio con dati nuovi:
Si desidera dividere 5 dolci identici tra 3 persone senza ordine di precedenza. Il numero di modi corrisponde alle combinazioni con ripetizione di 3 oggetti presi 5 alla volta:

$C_{3,5}^{\text {rip }}=\binom{3+5-1}{5}=\binom{7}{5}=\frac{7!}{5!2!}=21$

Nei test, questi calcoli risultano fondamentali per risolvere problemi di gruppi, suddivisioni e assegnazioni ripetibili.

Il trucco è fare esercizi

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