Disposizioni semplici e con ripetizione: calcoli rapidi per i test di ingresso

Capita spesso, durante alcuni test di ingresso, di dover calcolare il numero di modi con cui si possono disporre più elementi in posti limitati, oppure di stabilire quanti codici si possono formare con certe condizioni di ripetizione. Vengono poste domande come: “In quanti modi si possono selezionare e ordinare k elementi da un insieme di n oggetti?” o “Quanti codici di k caratteri si possono formare permettendo la ripetizione?”. Oggi viene illustrato ciò che serve per affrontare questo tipo di esercizi.

Disposizioni semplici

Le disposizioni semplici di n oggetti presi k alla volta (indicate spesso come $D_{n, k}$ rappresentano il conteggio di tutte le sequenze possibili di k elementi (distinti) tratti da un insieme di n elementi. Un ordine diverso, o la sostituzione di anche solo un elemento, produce una disposizione differente.

La relazione di base è:

$D_{n, k}=\frac{n!}{(n-k)!}$

Questa formula può apparire nei test per calcolare, ad esempio, il numero di modi per:

• Scegliere e ordinare 3 persone su 6 candidate per occupare 3 poltrone.
• Creare un codice a 4 cifre diverse scegliendo da un insieme di 7 cifre disponibili.

Esempio con dati nuovi:
Ci sono 6 giocatori di scacchi e si vuole selezionarne 3 per formarne un podio (1°, 2° e 3° posto), dove l’ordine è fondamentale. Il numero di disposizioni è:

$D_{6,3}=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!}=6 \times 5 \times 4=120$

Disposizioni con ripetizione

Nel caso delle disposizioni con ripetizione, ogni elemento può essere utilizzato più volte (fino a k volte, se si vogliono selezionare k posizioni). Il numero di disposizioni con ripetizione di n oggetti presi k alla volta si indica spesso con $D_{n, k}^{\mathrm{rip}}$ o si definisce semplicemente come:

$n^k$

Si incontra questa formula quando le domande del test consentono di ripetere un valore o un simbolo, come nella creazione di codici o parole fittizie.

Esempio con dati nuovi:
Si dispone di 5 simboli diversi e si vuole creare una stringa di lunghezza 3, in cui ogni simbolo può ricorrere più volte. Le disposizioni con ripetizione si calcolano così:

$D_{5,3}^{\text {rip }}=5^3=125$

Strategie utili nelle prove a crocette

Le domande di solito chiariscono se gli elementi possano o meno ripetersi. È importante capire la differenza tra:

• Caso senza ripetizione: si applica
  $$\frac{n!}{(n-k)!}$$
• Caso con ripetizione: si applica
  $$n^k$$

È utile anche ricordare che nei test le combinazioni, le disposizioni e le permutazioni possono venire confusi.

Le disposizioni si riconoscono dal fatto che l’ordine dei selezionati conta (a differenza delle combinazioni, dove si guarda solo il gruppo). Nel dubbio, vale la pena leggere bene la traccia per scoprire se è richiesta un’ordinazione o meno.

La vera ripetizione sono gli esercizi!

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