Permutazioni semplici e con ripetizione: tecniche utili per i test di ingresso

Capita spesso, nei test di ingresso, di trovare domande sulle permutazioni, soprattutto quando occorre stabilire in quanti modi n elementi possono essere ordinati in n posizioni o come si contano i possibili anagrammi di un insieme di lettere. È importante sapere calcolare rapidamente sia le permutazioni semplici sia quelle con ripetizione, distinguendo le situazioni in cui alcuni elementi sono identici fra loro. Oggi viene spiegato ciò che serve memorizzare per gestire queste domande in modo efficace.

Permutazioni semplici

Le permutazioni semplici di n oggetti, prese n alla volta, definiscono l’insieme di tutti i possibili ordini in cui si possono disporre quegli n oggetti. Ogni sequenza differisce dalle altre per la posizione almeno di un elemento.

La formula è:

$P_n=n!$

Questa relazione coincide con il caso delle disposizioni $D_{n, n}$ in cui non viene esclusa alcuna posizione. Si usa quando tutti gli n posti vanno interamente occupati e non ci sono elementi ripetuti.

Esempio con dati nuovi:
Ci sono 5 musicisti e si deve decidere l’ordine in cui suoneranno uno dopo l’altro. Il numero di modi per stabilire la sequenza è calcolato come permutazioni semplici di 5 oggetti:

$P_5=5!=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

Permutazioni con ripetizione

Le permutazioni con ripetizione riguardano l’ordinamento di n elementi totali dove un certo sottogruppo di questi è formato da oggetti identici. Se in un insieme di n oggetti, k di essi sono indistinguibili tra loro, la formula diventa:

$\frac{n!}{k!}$

Se ci sono più gruppi di elementi uguali, si generalizza dividendo per ciascuna molteplicità.

Esempio con dati nuovi:
La parola SALAS è lunga 5 lettere, di cui 2 “S” e 2 “A”. Per calcolare gli anagrammi (senza considerare il significato) si applica la formula delle permutazioni con ripetizione. Qui n = 5, e ci sono 2 “S” indistinguibili e 2 “A” indistinguibili. Si ottiene:

$\frac{5!}{2!\times 2!}=\frac{120}{2 \times 2}=30$

Questi calcoli si dimostrano fondamentali quando un test richiede di contare quante disposizioni o quante “parole” (anche prive di senso) si possono formare con lettere o cifre ripetute.

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