Grandezze vettoriali: somma, differenza e prodotti per i test di ingresso

Introduzione: cosa occorre sapere sulle grandezze vettoriali

Nelle prove d’ingresso a indirizzo scientifico capita di dover riconoscere e manipolare le grandezze vettoriali, distinguendole dalle grandezze scalari.

Vengono poste domande sul verso, la direzione, l’intensità (o modulo), oltre che sulle operazioni tra vettori.

Qui si scopre come definire un vettore, come effettuare somme, differenze e prodotti scalari e vettoriali, e perché queste nozioni sono utili per chi deve risolvere rapidamente test a crocette.

Caratteristiche di una grandezza vettoriale

Una grandezza vettoriale si descrive con:

• Un modulo (o intensità), che è un numero accompagnato da un’unità di misura.
• Una direzione, ossia una linea su cui “giace” il vettore.
• Un verso, cioè il “senso” lungo quella direzione (per esempio verso destra o verso sinistra).

Se una formica si muove di 3 cm partendo da un punto, non basta conoscere solo i 3 cm per sapere dove è andata a finire. Occorre anche sapere dove ha puntato, perché quei 3 cm possono orientarsi in varie direzioni. L’insieme di modulo, direzione e verso fa comprendere la posizione finale.

Rappresentazione e notazioni dei vettori

Un vettore si disegna come una freccia:

• Il punto di partenza è detto punto di applicazione.
• La lunghezza della freccia corrisponde al modulo (o intensità).
• La retta su cui la freccia si trova indica la direzione.
• L’orientamento della freccia individua il verso.

Nei testi di fisica si usano spesso simboli in grassetto (come v) o con una freccia sopra (come $\vec{v}$). Il suo modulo si può indicare con ∥v∥ o con v in corsivo.

Vettori paralleli, concordi e perpendicolari

• Paralleli: giacciono sulla stessa retta o su rette parallele.
• Concordi: sono paralleli e puntano nello stesso verso.
• Antiparalleli: sono paralleli ma puntano in versi opposti.
• Ortogonali: le loro direzioni formano un angolo di 90°.

Queste definizioni sono fondamentali nei calcoli di forze, velocità e in molte altre grandezze fisiche.

Moltiplicare un vettore per uno scalare

Moltiplicando un vettore v per un numero (chiamato scalare) s:

• Il risultato è un nuovo vettore con la stessa direzione.
• Il modulo cambia in base al valore di s (se è 2, il modulo raddoppia, se è 0, il vettore diventa nullo).
• Se s è positivo, il verso resta invariato; se s è negativo, il verso si inverte.

Il vettore opposto di v, indicato con -v, ha stesso modulo ma verso opposto.

Somma e differenza tra vettori

La somma di due vettori segue la regola del parallelogramma. Se si chiamano $v_1$ e $v_2$​:

1. Si disegnano come lati di un parallelogramma.
2. La diagonale che parte dallo stesso punto di applicazione è il vettore risultante
   $$v_1$$
   +
   $$v_2$$
   ​.

La differenza $v_1$ - $v_2$​. si trova sommando $v_1$​ a −$v_2$​, cioè al vettore opposto di $v_2$​.

Casi particolari di somma

• Vettori paralleli e concordi: il modulo del risultante è la somma dei due moduli.
• Vettori paralleli e antiparalleli: il modulo è la differenza tra i moduli, direzione invariata, verso di quello maggiore.
• Vettori ortogonali: si applica il teorema di Pitagora per trovare il modulo del risultante.

Scomposizione di un vettore

Se si ha un riferimento cartesiano con assi x e y, un vettore può essere “spezzato” in due parti:

• $$v_x$$
  ​, la componente parallela all’asse x
• $$v_y$$
  ​., la componente parallela all’asse y

Si possono calcolare usando la trigonometria. Se θ\thetaθ è l’angolo tra il vettore e l’asse x, allora:

• $$\left\|v_x\right\|=\|v\| \cos (\theta)$$
• $$\left\|v_y\right\|=\|v\| \sin (\theta)$$

Prodotto scalare e prodotto vettoriale

Prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori a e b è un numero (cioè uno scalare) pari a:

$a \cdot b=\|a\|\|b\| \cos (\phi)$

dove ϕ è l’angolo tra i due vettori. Se sono perpendicolari, il prodotto scalare è zero (perché cos⁡(90∘)=0). Se puntano nella stessa direzione, il prodotto scalare è massimo (perché cos⁡(0∘)=1.

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale tra a e b è un nuovo vettore con:

• Modulo:
  $$\|a\|\|b\| \sin (\phi)$$
  .
• Direzione: perpendicolare al piano che contiene a e b.
• Verso: dato dalla regola della mano destra (pollice in direzione di a, indice in direzione di b, il medio indica il verso del prodotto vettoriale).

Se i due vettori sono paralleli (o antiparalleli), il prodotto vettoriale è nullo, perché sin⁡(0∘) = 0 e sin(180∘)=0. Se sono ortogonali, sin(90∘)=1 e il modulo è ∥a∥∥b∥

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