Come calcolare errori di misura: formule ed esempi

Spesso, in diversi test di ingresso, è richiesta la capacità di riconoscere e classificare gli errori di misura, oltre a saper calcolare errore assoluto, errore relativo ed errore percentuale.

Queste nozioni sono fondamentali quando viene chiesto di identificare la precisione di uno strumento o di verificare se un valore misurato è affidabile.

Qui vediamo tutto ciò che serve per rispondere a domande di questo genere, chiarendo i concetti in modo semplice e con esempi pratici.

Errori di misura: definizione e caratteristiche

Misurare una grandezza fisica con precisione assoluta non è possibile. Qualunque procedura di misura introduce errori che si dividono principalmente in due categorie:

• Errori sistematici: derivano da difetti degli strumenti o dall’applicazione di leggi o formule non corrette. Sono sempre orientati nello stesso senso, cioè portano a sovrastimare o sottostimare in modo costante il valore effettivo.
• Errori accidentali: sono errori casuali legati all’uso pratico di uno strumento. Possono manifestarsi sia in eccesso sia in difetto, perché dipendono da situazioni imprevedibili (condizioni ambientali, minime variazioni nel posizionamento dello strumento e così via).

L’alterazione dello strumento, come potrebbe accadere con un metro deformato o un termometro non tarato, è un tipico caso di errore sistematico. Ogni misura effettuata con quello strumento risulterebbe errata sempre nella stessa direzione.

Errore assoluto, relativo e percentuale

Per una grandezza fisica x, spesso si effettua la misura più volte. Supponiamo di misurarla n volte, ottenendo valori $x_1, x_2, \ldots, x_n$​. Se:

• $$X_{\max }$$
  è il valore massimo tra quelli misurati
• $$X_{\min }$$
  è il valore minimo
• M è la media aritmetica dei valori misurati

si possono definire:

1. Errore assoluto e:

$e=\frac{X_{\max }-X_{\min }}{2}$

Indica la “forchetta” di incertezza attorno al valore medio, ossia quanto ci si allontana dal centro dei dati raccolti.

1. Errore relativo ​
   $$E_r$$
   :

$E_r=\frac{e}{M}$

Per capire quanto questo errore pesi sul valore misurato, si effettua una normalizzazione rispetto alla media.

1. Errore percentuale
   $$E_{\%}$$
   ​:

$E_{\%}=\left(100 \times E_r\right) \%$

Indica lo stesso valore dell’errore relativo, ma espresso in percentuale.

Valori più piccoli di errore relativo ed errore percentuale corrispondono a una misura più accurata.

Esempio pratico

Un gruppo di studenti vuole determinare la lunghezza di un banco di scuola usando un comune metro a nastro.

Ognuno esegue una misura cercando di stare attento alle procedure. I valori, espressi in centimetri, sono (esempio inventato con dati diversi da qualsiasi riferimento ufficiale):

118,5; 118,7; 118,2; 118,4; 118,6; 118,3; 118,7; 118,6

1. Calcolo della media M:

$M=\frac{118,5+118,7+118,2+118,4+118,6+118,3+118,7+118,6}{8}$

1. Calcolo di
   $$X_{\max }$$
   e
   $$X_{\min}$$
   ​:
2. $$X_{\max }=118,7$$
3. $$X_{\min }=118,2$$
4. Errore assoluto e:

$e=\frac{X_{\max }-X_{\min }}{2}=\frac{118,7-118,2}{2}=\frac{0,5}{2}=0,25$

1. Errore relativo
   $$E_r$$
   ​:

$E_r=\frac{0,25}{M}$

(dove M è il valore medio calcolato)

1. Errore percentuale
   $$E_{\%}$$
   ​:

$E_{\%}=100 \times E_r$

Se il valore medio M fosse, ad esempio, 118,5 cm, allora:

$E_r=\frac{0,25}{118,5} \approx 0,0021$

$E_{\%} \approx 0,21 \%$

Ciò significa che la misura potrebbe essere scritta come:

$x=(118,5 \pm 0,25) \mathrm{cm}$

e, per le valutazioni di accuratezza, l’errore relativo sarebbe all’incirca 0,0021 e l’errore percentuale attorno a 0,21%.

Come presentare i risultati

Quando si riporta la misura finale:

• È consigliato arrotondare in base al primo decimale influenzato dall’errore.
• Misura ed errore devono essere nella stessa unità di misura.
• È buona prassi indicare l’intervallo effettivo in cui potrebbe trovarsi il valore reale (ad esempio, da 118,25 cm a 118,75 cm).

Questi dettagli sono spesso richiesti nei test a domanda multipla: può venire proposta un’intera serie di misure e si chiede di identificare errore assoluto, errore relativo ed errore percentuale, oppure di riconoscere se un dato strumento è affetto da errore sistematico.

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