# Grandezze vettoriali: somma, differenza e prodotti

> Scopri come riconoscere direzione, verso e modulo dei vettori, calcolare somme e differenze, e affrontare prodotti scalari e vettoriali. Guida pratica per i quiz in ambito scientifico.

- Pagina: https://testbuddy.it/blog/test-di-ammissione/grandezze-vettoriali-somma-differenza-e-prodotti-p
- Autore: Leo Fulvio Bacchilega
- Ultimo aggiornamento: 2025-09-04

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Nelle prove d’ingresso a indirizzo scientifico capita di dover riconoscere e manipolare le **grandezze vettoriali**, distinguendole dalle **grandezze scalari**.

Vengono poste domande sul **verso**, la **direzione**, l’**intensità (o modulo)**, oltre che sulle **operazioni** tra vettori.

Qui si scopre come definire un vettore, come effettuare somme, differenze e prodotti scalari e vettoriali, e perché queste nozioni sono utili per chi deve risolvere rapidamente test a crocette.

## Caratteristiche di una grandezza vettoriale

Una **grandezza vettoriale** si descrive con:

- Un **modulo** (o intensità), che è un numero accompagnato da un’unità di misura.
- Una **direzione**, ossia una linea su cui “giace” il vettore.
- Un **verso**, cioè il “senso” lungo quella direzione (per esempio verso destra o verso sinistra).

Se una formica si muove di **3 cm** partendo da un punto, non basta conoscere solo i 3 cm per sapere dove è andata a finire. Occorre anche sapere **dove** ha puntato, perché quei 3 cm possono orientarsi in varie direzioni. L’insieme di modulo, direzione e verso fa comprendere la posizione finale.

## Rappresentazione e notazioni dei vettori

Un vettore si disegna come una **freccia**:

- Il **punto di partenza** è detto **punto di applicazione**.
- La **lunghezza della freccia** corrisponde al **modulo** (o intensità).
- La **retta** su cui la freccia si trova indica la **direzione**.
- L’**orientamento** della freccia individua il **verso**.

Nei testi di fisica si usano spesso simboli in **grassetto** (come **v**) o con una **freccia sopra** (come $$\vec{v}$$). Il suo **modulo** si può indicare con ∥v∥ o con **v** in corsivo.

## Vettori paralleli, concordi e perpendicolari

- **Paralleli**: giacciono sulla stessa retta o su rette parallele.
- **Concordi**: sono paralleli e puntano nello stesso verso.
- **Antiparalleli**: sono paralleli ma puntano in versi opposti.
- **Ortogonali**: le loro direzioni formano un angolo di **90°**.

Queste definizioni sono fondamentali nei calcoli di **forze**, **velocità** e in molte altre grandezze fisiche.

## Moltiplicare un vettore per uno scalare

Moltiplicando un vettore **v** per un **numero** (chiamato scalare) **s**:

- Il **risultato** è un nuovo vettore con la **stessa direzione**.
- Il **modulo** cambia in base al valore di **s** (se è 2, il modulo raddoppia, se è 0, il vettore diventa nullo).
- Se **s** è positivo, il verso resta invariato; se **s** è **negativo**, il verso si inverte.

Il **vettore opposto** di **v**, indicato con **-v**, ha **stesso modulo** ma **verso** opposto.

## Somma e differenza tra vettori

La **somma** di due vettori segue la **regola del parallelogramma**. Se si chiamano $$v_1$$ e $$v_2$$​:

1. Si disegnano come lati di un parallelogramma.
1. La **diagonale** che parte dallo stesso punto di applicazione è il **vettore risultante** $$v_1$$ +$$v_2$$​.

La **differenza** $$v_1$$ - $$v_2$$​. si trova sommando $$v_1$$​ a −$$v_2$$​, cioè al vettore opposto di $$v_2$$​.

### Casi particolari di somma

- **Vettori paralleli e concordi**: il modulo del risultante è la **somma** dei due moduli.
- **Vettori paralleli e antiparalleli**: il modulo è la **differenza** tra i moduli, direzione invariata, verso di quello maggiore.
- **Vettori ortogonali**: si applica il **teorema di Pitagora** per trovare il modulo del risultante.

## Scomposizione di un vettore

Se si ha un **riferimento cartesiano** con assi x e y, un vettore può essere “spezzato” in due parti:

- $$v_x$$​, la componente parallela all’asse x
- $$v_y$$​., la componente parallela all’asse y

Si possono calcolare usando la **trigonometria**. Se θ\thetaθ è l’angolo tra il vettore e l’asse x, allora:

- $$\left\|v_x\right\|=\|v\| \cos (\theta)$$
- $$\left\|v_y\right\|=\|v\| \sin (\theta)$$

## Prodotto scalare e prodotto vettoriale

### Prodotto scalare

Il **prodotto scalare** tra due vettori a e b è un **numero** (cioè uno scalare) pari a:

$$a \cdot b=\|a\|\|b\| \cos (\phi)$$

dove ϕ è l’angolo tra i due vettori. Se sono **perpendicolari**, il prodotto scalare è **zero** (perché cos⁡(90∘)=0). Se puntano nella stessa direzione, il prodotto scalare è **massimo** (perché cos⁡(0∘)=1.

### Prodotto vettoriale

Il **prodotto vettoriale** tra a e b è un **nuovo vettore** con:

- **Modulo**: $$\|a\|\|b\| \sin (\phi)$$.
- **Direzione**: perpendicolare al piano che contiene a e b.
- **Verso**: dato dalla **regola della mano destra** (pollice in direzione di a, indice in direzione di b, il medio indica il verso del prodotto vettoriale).

Se i due vettori sono **paralleli** (o antiparalleli), il prodotto vettoriale è **nullo**, perché sin⁡(0∘) = 0 e sin(180∘)=0. Se sono **ortogonali**, sin(90∘)=1 e il modulo è ∥a∥∥b∥

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