# Combinazioni semplici e con ripetizione: formule ed esempi

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- Autore: Leo Fulvio Bacchilega
- Ultimo aggiornamento: 2025-09-09

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Capita spesso che, in vari test di ingresso, vengano proposti quesiti sulle **combinazioni**, chiedendo quante sottoselezioni di un insieme si possono fare quando l’**ordine** non ha alcun valore. Appaiono domande del tipo: “**Quanti gruppi di k elementi si possono formare da n oggetti?**” o “**Come distribuire k elementi identici fra n soggetti?**”.

Oggi vengono illustrati gli strumenti necessari per rispondere in modo mirato.

## Combinazioni semplici

Le **combinazioni semplici** di *n* oggetti presi *k* alla volta (indicate spesso come $$C_{n, k}$$​ o $$\binom{n}{k}$$) individuano il **numero di modi** per selezionare *k* elementi da *n* totali, senza considerare l’ordine di estrazione.

La formula è:

$$C_{n, k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$$

Ogni combinazione differisce dalle altre **solo** per la presenza o l’assenza di un elemento, non per la disposizione.

**Esempio con dati nuovi:**
Ci sono **5 studenti** e si vuole formare un **duo** per una presentazione. In questo caso, l’ordine non conta (il primo e il secondo in elenco formano lo stesso duo).

Il calcolo si effettua con:

$$\binom{5}{2}=\frac{5!}{(5-2)!2!}=\frac{120}{3!\times 2!}=\frac{120}{6 \times 2}=10$$

Significa che ci sono 10 possibili coppie di studenti.

## Combinazioni con ripetizione

Le **combinazioni con ripetizione** calcolano il numero di modi di scegliere *k* elementi da un insieme di *n* possibilità, quando ciascuna di queste può essere usata più volte, ma **l’ordine** non conta. La formula si scrive come:

$$C_{n, k}^{\mathrm{rip}}=\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}$$

Compare spesso in domande di **distribuzione** di oggetti indistinguibili a più destinatari o di composizione di gruppi con ripetizioni consentite.

**Esempio con dati nuovi:**
Si desidera dividere **5 dolci identici** tra **3 persone** senza ordine di precedenza. Il numero di modi corrisponde alle combinazioni con ripetizione di 3 oggetti presi 5 alla volta:

$$C_{3,5}^{\text {rip }}=\binom{3+5-1}{5}=\binom{7}{5}=\frac{7!}{5!2!}=21$$

Nei test, questi calcoli risultano fondamentali per risolvere problemi di gruppi, suddivisioni e assegnazioni ripetibili.

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